求不定方程整数解的问题。解法如下：
设公鸡、母鸡、小鸡分别为 x、y、z 只，由题意得：
x＋y＋z＝100①

5x + 3y+ z = 100②
1
3
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
②×3-①得：7x＋4y＝100，因此

y = 100 7x = 25 x 7
4 4
由于 y 表示母鸡的只数，它一定是自然数，而 4 与 7 互质，因此 x 必须
是 4 的倍数。我们把它写成：x＝4k（k 是自然数），于是 y＝25-7k，代入原方
程组，可得：z＝75＋3k。把它们写在一起有：
x = 4k
y = 25-7k
z = 75+3k
一般情况下，当 k 取不同数值时，可得到 x、y、z 的许多组值。但针对
本题的具体问题，由于 x、y、z 都是 100 以内的自然数，故 k 只能取 1、2、
3 三个值，这样方程组只有以下三组解：
x = 4 y =18 z = 78
x =8 y =11 z = 81
x =12 y = 4 z = 84

兔子问题

13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出这样一个问题：
有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关
在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二
个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖
成多少对？
现在我们寻求兔子繁殖的规律。成熟的一对兔子用记号●表示，未成熟
的用○表示。每一对成熟的兔子经过一个月变成本身的●及新生的未成熟
○。未成熟的一对○经过一个月变成成熟的●，不过没有出生新兔，这样便
可画出下图

可以看出六个月兔子的对数是 1，2，3，5，8，13。很容易发现这个数
列的特点：即从第三项起，每一项都等于前两项之和。所以按这个规律写下
去，便可得出一年内兔子繁殖的对数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，
144，233，377。可见一年内兔子共有 377 对。
人们为了纪念斐波那契，就以他的名字命名了这个数列，该数列的每一
项称为斐波那契数。斐波那契数列有许多有趣的性质。除了 an＝an-1＋an-2外，

1 1+2 5
n 1 5 n
还可以证明他的通项公式为an = ，公式虽然复杂，
5 2
可它的每一项却都是整数。而且这个数列中相邻两项的比值，越靠后其值越
接近 0．618。这个数列有广泛的应用，如树的年分枝数目就遵循斐波那契数
列的规律；而且计算机科学的发展，为斐波那契数列提供了新的应用场所。

鸡兔同笼

中国古代的《孙子算经》（公元 280～420 年）一书中，收集了不少算术
趣题，“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题为：今有鸡（雉）兔同笼，上有
三十五头，下有九十四足，问鸡、兔几何？
原书的解法是：设头数为a，足数为b，则b2 a是兔数，a2 a是鸡数，
b

这个方法很巧妙。可能是这样思考的：鸡兔头数和为 a，而足数之和为 b，则
有：
鸡 + 兔 = a ①
2·鸡
+4·兔 = b ②
1
这其实是一个二元一次方程组，由 ×② -①得：
2
兔 = -a，代入①得：鸡 = a-2 a。由此解得：兔 =12只，鸡 = 23只。
b b
2
我们还可以这样考虑：假设笼里全是兔子，则共有 4×35＝140 条腿，但
实际只有 94 条腿，多了 140-94＝46 条腿，这是由于把鸡假设为兔子，使每鸡
多了两条腿造成的，所以应该为：46÷（4-2）＝23（只），兔为 35-23＝12（只）。

韩信点兵

大凡著名的军事家都是精通数学的。“韩信点兵”的故事就是源出于我
国古代《孙子算经》。让我们来欣赏这位将军的智慧：
一日，韩信到前沿检阅一队士兵。这队士兵人数众多，无法一一点清，
况且兵贵神速，时间是军队的生命，不能迟迟不决。韩信立即令队伍整队，
排成每列 5 人的纵队，最后多余 1 人；接着又命令改成 6 人一列的纵队，最
后多余 5 人；然后又变换队形，变成每列 7 人的纵队，最后多余 4 人；最后，
下令排成每列 11 人的纵队，最后多余 10 人。操练完毕，韩信不仅了解了这
队士兵的军事素质，而且全队士兵的人数也在不知不觉中了如指掌了。
难道他真有神机妙算的本领吗？
这就是著名的“孙子定理”，也是驰名中外的“中国余数定理”。它是
这样分析的：
首先，求 5、6、7、11 的最小公倍数：
M＝5×6×7×11＝2310
求得 M 对于每个因数的商数：

a1 = 2310 = 462
5
2310
a2 = = 385
6

a3 = 2310 = 330
7
2310
a4 = = 210
11
以各自的商数为基础，求得余 1 的情况：
3×462 1386
= = 277Λ Λ 余1
5 5
385
= 64Λ Λ 余1
6
330
= 47Λ Λ 余1
7
210 = 19Λ Λ 余1
11
再以实际上各项的余数代进去，得到
x0＝1×3×462＋5×385＋4×330＋10×210＝6731
由此，6731 是符合题意中的各项余数的，但这并不是小的解，因为 2310
能被各项都整除，所以要减去 2310 的数。
x1＝6731-2×2310＝2111
2111 为最小的解。但由于这是解不定方程，可以有无的解，其通解的形
式应该为
x2＝2111＋2310k（其中 k＝0，1，2，……）

幻方与数阵

将 1～9 这 9 个数字填在图 A 中的九个方格里，使每一横行、每一纵列和
两个对角线上的数字之和相等。首先我们注意到 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。而
①＋②＋③＋
④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨＝45，因此，①＋②＋③＝④＋⑤＋⑥＝⑦＋⑧＋⑨＝幻和，那
么应该有：幻和×3＝45，幻和＝45÷3＝15。又，①＋⑤＋⑨＋③＋⑤＋⑦＋④＋⑤＋
⑥＋②＋⑤＋⑧＝15×4＝60，也就是①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨＋3×⑤＝60，所
以，45＋3×⑤＝60，⑤＝5，即

中间的数应当为 5，其他位置上的数，如果①填奇数，因为①＋⑨＝10，
所以⑨也是奇数。④、⑦同奇或同偶，当④、⑦同为奇数时，⑧和⑥也应是
奇数。因此共有 6 个奇数，又因 1～9 只有 5 个奇数，发生矛盾。当④、⑦同
偶时，⑧与⑥也应为偶数，③也应为偶数，这样共有 5 个偶数，也与 1～9
只有 4 个偶数矛盾。因此①是偶数，同理③、⑦、⑨也都是偶数。又①＋⑨＝
③＋⑦＝10，于是就得到所求解。如左图。

伐木人的争论

伊格纳托夫是前苏联著名的科普作家，他一生写下了许多题材新颖、内
容丰富、形式活泼的作品，伐木人的争论是其作品中的一道题。
尼基塔和巴维尔是两个伐木人。有一天，两人干完活正准备吃饭，迎面
走来一个猎人：“你们好啊，兄弟们！我在森林里迷了路，离村庄又远，饿
得心慌，请分给我一些吃的吧！”
“行啊，行啊，你坐下吧！尼基塔有 4 张饼，我有 7 张饼咱们在一起凑
合着吃吧。”巴维尔热情地说。尼基塔也随声附和着。于是三人平均分吃了
11 张饼。吃过饭，猎人摸出 11 个戈比，说道：“请别见怪，我身上只有这
些钱了，你俩商量着分吧！”
猎人走后，两个伐木人争论起来。尼基塔说：“我看这钱应该平分！”
巴维尔反驳说：“11 张饼的钱是 11 个戈比，正好是 1 张饼 1 个戈比，你应
得 4 个，我应得 7 个！”
他们俩的算法，谁的对呢？显然尼基塔的算法是错的，两人带的饼的数
目不同，当然分得的钱也应不同。再看巴维尔的算法：11 张饼，11 个戈比，
每张饼 1 个戈比，看起来非常合理，如果问题是“猎人用 11 个戈比买了 11
张饼”，那么巴维尔的算法的确是正确的。可问题是“3 个人平均分吃了 11
张饼，并且尼基塔和巴维尔带的饼又不一样多。”实际上，11 张饼平均分给
3个人，就是说，每人吃了11张饼。尼基塔有4张饼，自己吃了11张饼，
3 3
他给猎人吃了411= 张。而巴维尔也吃了11张，他分给猎人711= 张。
1 10
3 3 3 3 3

猎人吃了 张饼，付给11个戈比，也就是说，每次13张饼猎人付给一个
11
3
戈比。他吃了尼基塔1张饼，故尼基塔应得1戈比，他吃了巴维尔10张饼，
3 3

巴维尔应得 10 戈比，两个人的算法都错了。

36 名军官问题

设有 6 种军衔和来自 6 个团的 36 名军官，能不能把他们排成 6×6 的队
列，使得每行每列里都有每种军衔的 1 名军官和每个团的 1 名军官呢？
这是 18 世纪瑞士数学家欧拉提出的一个趣味数学问题。它在统计学，尤
其是在试验设计中有重要的影响。
为了易于说明，我们先考虑有 3 种军衔和来自 3 个团的 9 名军官。用 1、
2、3 分别表示 3 种军衔，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示 3 个不同的团，这时，相应的问题
的解答是：
1 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
3 2 3
2 1 Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
2 3 1 Ⅱ Ⅲ Ⅰ
军衔阵列 团阵列

(1,Ⅰ) (2,Ⅱ) (3,Ⅲ)
(3,Ⅱ
) (1,Ⅲ) (2,Ⅰ)
(2,Ⅲ ) (3,Ⅰ) (1,Ⅱ)

上面军衔阵列和团阵列分别是由 3 个不同符号构成的 3 行 3 列的阵列（3
×3），其中每个符号在每行与每列恰好只出现一次，我们把这种阵列叫 3
阶拉丁方。而并置阵列中 32个有序对都是不同的（即并置后，所有可能的 9
种情况都出现了），称军衔阵列和团阵列是正交拉丁方。
那么，36 名军官问题就成了：是否存在 6 阶正交拉丁方呢？欧拉曾猜想，
阶数为 4k＋2（k 是正整数）的拉丁方，任何两个同阶的拉丁方都不是正交的。
容易证明 2 阶拉丁方不正交。1901 年法国数学家 Tarry 用穷举法证明了不存
在 6 阶正交拉丁方。直到 1959 年才有 3 位统计学家终于证明了，除了 2 阶和
6 阶外，其他情况都有解。欧拉的猜想中，除这两种情况外，其余都猜错了。

龟和鹤

龟和鹤都是长寿的动物。一天鹤爹与鹤子遇见了龟祖和龟孙，彼此谈起
了年龄。原来鹤爹的年龄是鹤子年龄的 2 倍，龟祖的年龄是龟孙年龄的 5 倍。
它们年龄之和如果乘上 3，等于 900 岁。如果再过 10 年，鹤族年龄的 5 倍加
上龟族的年龄也是 900 岁。问现在它们的年龄各是多少？
解答：设鹤子现在的年龄是 x，龟孙现在的年龄是 y。则鹤爹现年为 2x，
龟祖现年 5y，有方程：
3［（2x＋x）＋（5y＋y）］＝900
10 年以后，鹤子、鹤爹的年龄分别为 x＋10 和 2x＋10，龟孙、龟祖的年龄
分别为 y＋10 和 5y＋10，于是又有方程，
5［（x＋10）＋（2x＋10）］＋（y＋10）＋（5y＋10）＝900
联立两个方程，简化为：
5x+2y
x+2y =100
= 260
解得：
y x = 40
= 30
因此，鹤子现年 40 岁，鹤爹现年 80 岁，龟孙现年 30 岁，龟祖现年 150
岁。

乘车者的常识

有一个乘车者经常坐从东郊到西郊的公共汽车。一天，他嫌车太挤，就
沿着公共汽车行车路线走。这时，他发现对面来的公共汽车每隔 6 分钟遇见
一次，而背后开来的公共汽车每隔 12 分钟超过他一次。他心算了一下，就知
道，这条路线上的公共汽车是隔多少分钟发车一次了。你也能算出来吗？
解答：假设公共汽车的速度是 y，人的走路速度是 x，又设两次发车间隔
时间里，公共汽车行驶的路程为 S。
那么，在迎面见到公共汽车的情况下，每经过 S 距离的时间是 t1＝6 分钟，
S
并且
x + y = t。

同样，在相同方向的情况下，每经过 S 距离的时间是 t2＝12 分钟，并且
S
y x = t。解联立方程组：

S
①
x + y = t1

S
②
y x = h2

将①化简为：
x y 1
+ = ③
S S t1
将②化简为：
y x 1
= ④
S S t2
③、④相加：
2y = 1 + 1
S t1 t2
∴Sy = + 1 1
t1 t2
∵t1 = 6,t2 = 12
∴Sy = 8

S
因为 正是每段间隔中所需的时间，即发车的间隔时间，所以每两个车
y
发车时间相隔 8 分钟。

两支蜡烛

停电时分，小曹点起了两支蜡烛。这两支蜡烛一般长，可不一般粗。粗
蜡烛可点 2 小时，细蜡烛可点 1 小时。来电以后，小曹吹灭了两支蜡烛，发
现粗蜡烛是细蜡烛长度的 2 倍。问停电时间有多少分钟？
解答：设停电时间为 x 小时。

粗蜡烛2小时点完，1小时可点1/ 2根，x小时可点去 根，还剩1
x x
2 2
根（即它剩下的长度）。
细蜡烛 1 小时点完，1 小时可点 1 整根，x 小时可点去 x 根（x 不到 1
根），还剩下的长度为 1-x。
x
于是：1- = 2（1-x）
2
解方程，得 x＝2／3 小时＝40 分钟
因此，停电时间为 40 分钟。

说容易也难

电视机厂的一个组装班组。已知工作天数比班组人数多 2，如此组装的
电视机总台数是 1001 台，问平均每人每天组装几台电视机？
解答：因为总台数＝平均台数×人数×天数，所以总台数等于 3 个因子相
乘。由于 1001＝13×11×7，仅仅这一种组合方式，所以根据题意 13 应是工
作天数，11 应是班组人数。剩下 7 就是平均每人每天组装的台数。
这道题如果用解方程的办法来做，实际上是一个三次方程。
要解三次方程，可不是件容易的事。